Elo Rating System

有時候在競爭式的遊戲中，可以看到系統對於玩家目前表現的評價。例如《英雄聯盟》的排位，《皇室戰爭》的積分。還有先前與南韓棋士李世乭對弈的人工智慧AlphaGo，在賽後的排名迅速竄升。

在開始討論之前……

先來談談實力這件事

撇開實際看到的數字之前，我們是如何評定實力的高低、技巧的優劣？

例如：朋友之間打牌，如果彼此之間牌技相差懸殊，很容易就「看」得出來誰是會玩的，這是因為他贏得多、輸得少。
反過來說，一群實力差不多的人，反而很難決定誰的實力高低。

表現不是絕對的，實力強的不必然贏過實力弱的，只是獲勝機率相對高而已。

假設我們將玩家a,b的表現量化，稱為Xa,Xb，且該競技沒有和局。則a,b的表現跟勝率有關。
令Ea,Eb為玩家a,b的勝率，則：
Ea=Xa/(Xa+Xb)
Eb=Xb/(Xa+Xb)

這只是我隨意提出的表現量化方式，不必深究。

關於機率分布

複雜數學在此不提，用維基百科中做簡單舉例，下列函數為二項分布的p.d.f(機率密度函數)

當n=3,k=0,p=1/6

可以描述

在擲3次骰子中，不出現6點的機率

機率分布可以描述機率參與其中的實際現象。

從西洋棋說起

在1960年前，西洋棋的計分方式為Harkness System，這套系統並不能很好的評價出選手的表現。於是，物理學家同時也是西洋棋棋士的Arpad Elo，提出Elo Rating System。

假如一位棋手在比賽中的真實得分${\displaystyle S_{A}}$（勝=1分，和=0.5分，負=0分）和他的勝率期望值${\displaystyle E_{A}}$不同，則他的等級分要作相應的調整。具體的數學公式為

${\displaystyle R_{A}^{\prime }=R_{A}+K(S_{A}-E_{A}).}$

公式中${\displaystyle R_{A}}$和${\displaystyle R_{A}^{\prime }}$分別為棋手調整前後的等級分。

 其中K為常數，如下：

$$
{\displaystyle R_{B}}為對手等級分

(What the F...)

前面的公式還可以理解，但是這個
這個……



Ea destroy everything

Elo一開始是使用常態分佈作為選手實力的近似（常態分佈要另開主題），但是後來發現logistic distribution 更近似現實所有選手實力的結構。

而logistic分佈函數的樣子就長得很像上面那樣。Elo建議當選手等級分差距200時，其勝率為0.75:0.25（10^0.5=3.162）高能注意


回到Ea的公式，這可以理解成：當玩家a,b的等級分差距400，a,b的勝率比為1:10。
選手A等級分1200，選手B等級分1600。則B的勝率是A的10倍。（對賭盤來說很重要。）

而K是作為結束後，雙方等級分的增減，一方加多少另一方就減多少。

假設K=32

A等級分為1400,B等級分為1700，則Ea=0.151,Eb=0.849

賽後等級分變化

	A勝利	B勝利
賽後A等級分	1427.168654	1395.168654
賽後B等級分	1672.831346	1704.831346

強勝弱：「啊不就好厲害，虐菜嘛？」所以只加一點點分數。

弱勝強：「這就你一直不肯教我的遇強則屈，借花獻佛！」大加分！

K訂太高，則每場比賽導致的等級分變化太大，一不小心就鑽石掉到銀牌。
K訂太低，則超級新星的等級分成長太慢，還要再砍很多雜魚才能到達應有水準。

在西洋棋現行規則中，新手期的K比較大，老手比較小。
而K值可以根據實際情況自由決定。

實際應用上的問題

這裡就我遇到的問題，提出目前想到的解法，可能並不正確。

5v5的比賽怎麼辦？
做兩隊的平均等級分，如果有不一樣的K值做平均的K，比照雙人競賽，最後計分依比例分配。

該怎麼劃分區間？
長久來看，人數會集中在平均等級分附近，所以依據需求可以給出定值的等級分，1000分以下叫noob，1000~1200稱為菜鳥以此類推。

每場競賽後的增減分等價，這不就代表很多人會落在起始分數附近嗎？
因為新手還沒有經過足夠的競賽使其逼近他應有的等級分，透過第二層資訊例如10場之後才公佈分數，或者定期決定牌位。

玩家不玩，對整體的影響？
如果玩家不玩了，不再被配對到，整體可流動的分數減少。LOL的做法是定期reset，清空判定為無效的玩家。


大概就是這樣子～
我們下次再聊。